3.4 Producto Vectorial de dos Vectores

El momento de una fuerza con respecto a un punto se puede tomar como el producto vectorial de dos vectores.

El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones:

 La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q (figura a)

La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el se no del ángulo formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°); por tanto, se tiene V=P.Qsen0

La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha.

Cierre su mano derecha y manténga la de manera que sus dedos estén doblados en el primer sentido que la rotación a través del ángulo que haría al vector P colineal con el vector Q; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V. Obsérvese que si P y Q no tie nen un pun to de aplicación común, estos primeros se deben volver a dibujar a partir del mismo punto. Se di ce que los tres vectores P, Q y V (tomados en ese orden) forman una tríada a mano derecha.

Como se mencionó anteriormente, el vector V que satisface estas

tres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representa por la expresión matemática V=PxQ

En virtud de la notación utilizada, el producto vectorial de dos vectores P y Q también se conoce como el producto cruz de P y Q.

A partir de la ecuación se concluye que cuando dos vectores P y Q tienen la misma dirección, o direcciones opuestas, su producto vectorial es igual a cero. En el caso general, cuando el ángulo formado por los dos vectores no es 0° ni 180°, a la ecuación (3.1) se le puede dar una interpretación geométrica simple: la magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual al área del paralelogramo que tiene como la dos a P y Q. Por tanto, el producto vectorial PxQ

permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q que sea

coplanar a P y Q y tal que la línea que une a las partes terminales de

Q y Q sea paralelo a P. Así, se escribe V=PxQ=PxQ´

A partir de la tercera condición empleada para definir al producto vectorial V de P y Q, esto es, la condición que establece que P, Q y V deben formar una tríada a mano derecha, se concluye que los productos vectoriales no son comunitarios, es decir, Q P no es igual a P Q.

De hecho, se puede verificar fácilmente que Q P está representado por el vector V, que es igual y opuesto a V, entonces se escribe:

QxP (PxQ)

Ejemplo: Calcúlese el producto vectorial V=PxQ cuan do el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano ZX que forma un ángulo de 30° con el eje x y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje x.

A partir de la definición del producto vectorial se concluye que el vector V debe estar a lo largo del eje y, tener la magnitud:

V =PQsen0=(6)(4) sen 30°=12; y que debe estar dirigido hacia arriba.