Inicio

3.1 Introducción

    Al definir que un cuerpo rígido es aquel que no se de forma, se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras y máquinas rea les nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas. A pesar de ello, por lo general esas de formaciones son pequeñas y no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideración. No obstante, tales deformaciones son importantes en lo concerniente a la resistencia a la falla de las estructuras y están consideradas en el estudio de la mecánica de materiales.

    En este capítulo se estudiará el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y se aprenderá cómo reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente más simple. Este análisis estará basado en la su posición fundamental de que el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción (principio de transmisibilidad). Por tanto, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por

vectores deslizantes.

.

    Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respecto a un punto y el momento de una fuerza con respecto a un eje. Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de productos escalares y vectoriales de dos vectores, en este capítulo se presentarán los aspectos fundamentales del álgebra vectorial aplicados a la solución de problemas que involucran fuerzas que actúan sobre cuerpos rígidos.

    Otro concepto que se presentará en es te capítulo es el de un par, esto es, la combinación de dos fuerzas que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos. Como se verá, cual quier sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido puede ser reemplazado por un sistema equivalente que consta de una fuerza, que actúa en cierto punto, y un par. Este sistema básico recibe el nombre de sistema fuerza-par. En el caso de fuerzas concurrentes, coplanares o paralelas, el sistema equivalente fuerza-par se puede reducirá una sola fuerza, denominada la resultante del sistema, o a un solo par, llamado el par resultante del sistema.

3.2 Fuerzas Externas e Internas

Las fuer zas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en
dos grupos:

 1) fuerzas externas

         Las fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Ellas son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mue va o aseguran que éste permanezca en reposo.
   

En la primera imagen se observa las fuerzas externas que se aplica al camión, mientas que en la segunda se observa mediante el DCL las fuerzas totales actuantes en el camión.


2) fuerzas internas.

       Las fuerzas internas son aquellas que man tienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido. Si éste está constituido en su estructura por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas.

3.3 Principio de Transmibilidad

    El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o  de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F que tiene la misma magnitud y dirección, pe ro que actúa en un punto distinto, siempre y cuan do las dos fuerzas tengan la misma línea de acción). Las dos fuerzas, F y F , tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Es te principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas.

   Un ejemplo de esto es, si deseamos mover un cuerpo horizontalmente aplicando una fuerza, el resultado será el mismo si lo empujamos o si lo jalamos.

3.4 Producto Vectorial de dos Vectores

El momento de una fuerza con respecto a un punto se puede tomar como el producto vectorial de dos vectores.

El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones:

 La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q (figura a)

La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el se no del ángulo formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°); por tanto, se tiene V=P.Qsen0

La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha.

Cierre su mano derecha y manténga la de manera que sus dedos estén doblados en el primer sentido que la rotación a través del ángulo que haría al vector P colineal con el vector Q; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V. Obsérvese que si P y Q no tie nen un pun to de aplicación común, estos primeros se deben volver a dibujar a partir del mismo punto. Se di ce que los tres vectores P, Q y V (tomados en ese orden) forman una tríada a mano derecha.

Como se mencionó anteriormente, el vector V que satisface estas

tres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representa por la expresión matemática V=PxQ

En virtud de la notación utilizada, el producto vectorial de dos vectores P y Q también se conoce como el producto cruz de P y Q.

A partir de la ecuación se concluye que cuando dos vectores P y Q tienen la misma dirección, o direcciones opuestas, su producto vectorial es igual a cero. En el caso general, cuando el ángulo formado por los dos vectores no es 0° ni 180°, a la ecuación (3.1) se le puede dar una interpretación geométrica simple: la magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual al área del paralelogramo que tiene como la dos a P y Q. Por tanto, el producto vectorial PxQ

permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q que sea

coplanar a P y Q y tal que la línea que une a las partes terminales de

Q y Q sea paralelo a P. Así, se escribe V=PxQ=PxQ´

A partir de la tercera condición empleada para definir al producto vectorial V de P y Q, esto es, la condición que establece que P, Q y V deben formar una tríada a mano derecha, se concluye que los productos vectoriales no son comunitarios, es decir, Q P no es igual a P Q.

De hecho, se puede verificar fácilmente que Q P está representado por el vector V, que es igual y opuesto a V, entonces se escribe:

QxP (PxQ)

Ejemplo: Calcúlese el producto vectorial V=PxQ cuan do el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano ZX que forma un ángulo de 30° con el eje x y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje x.

A partir de la definición del producto vectorial se concluye que el vector V debe estar a lo largo del eje y, tener la magnitud:

V =PQsen0=(6)(4) sen 30°=12; y que debe estar dirigido hacia arriba.

3.5 Productos Vectoriales- Rectangulares

A continuación se procederá a determinar el producto vectorial de cualquier par de los vectores unitarios i, j y k, Considérese primero el producto ( I x J )....(figura A).

     Como ambos vectores tienen una magnitud igual a 1 y dado que éstos forman ángulos rectos entre sí, su producto vectorial también deberá ser un vector unitario. Dicho vector unitario debe ser k, puesto que los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares y forman una tríada a mano derecha. Por otra parte, a partir de la regla de la mano derecha presentada, se concluye que el producto ( J x I ) debe ser igual a k (figura B). Por último, se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como(I x I) es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección.

  

Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son:

     Si se ordena las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura3.11) se puede facilitar la determinación del signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si éstos se siguen uno a otro en un orden contrario movimiento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen uno al otro en un orden en el sentido de las manecillas del reloj.

3.6 Momento de una Fuerza Respecto a un Punto

     El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F:

Mo=r x F

     El momento MO debe ser perpendicular al plano que contiene el punto O y a la fuer za F. El sentido de MO está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F.

    En el sistema de unidades del SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en newtons-metro (N m). 

   En el sistema de unidades de uso común en Estados Unidos, donde la fuerza se expresa en libras y la distancia en pies o en pulgadas, el momento de una fuerza se expresa en lb ft o en lb in.

    Se puede observar que a pesar de que el momento MO de una fuerza con respecto a un punto depende de la magnitud, la línea de acción y el sentido de la fuerza, dicho momento no depende de la posición que tiene el punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su línea de acción.